Лекция 9.1: Температурное поле. Уравнение теплопроводности

Будем рассматривать только однородные и изотропные тела, т.е. такие тела, которые обладают одинаковыми физическими свойствами по всем направлениям. При передачи теплоты в твердом теле, температура тела будет изменяться по всему объему тела и во времени.

 

Совокупность значений температуры в данный момент времени для всех точек изучаемого пространства называется температурным полем:

t = f(x,y,z,τ) ,                                                                                                             (9.1)

где: t –температура тела;

x,y,z -координаты точки;

τ – время.

 

Такое температурное поле называется нестационарным ∂t/∂i ¹ 0, т.е. соответствует неустановившемуся тепловому режиму теплопроводности.

 

Если температура тела функция только координат и не изменяется с течением времени, то температурное поле называется стационарным:

t = f(x,y,z) , ∂t/∂i = 0                                                                                                 (9.2)

Уравнение двухмерного температурного поля:

для нестационарного режима:

t = f(x,y,τ) ; ∂t/∂z = 0                                                                                                 (9.3)

для стационарного режима:

t = f(x,y) , ∂t/∂z = 0; ∂t/∂i = 0                                                                                      (9.4)

Уравнение одномерного температурного поля:

для нестационарного режима:

t = f(x,τ) ; ∂t/∂y = ∂t/∂z = 0; ∂t/∂i ¹ 0                                                                            (9.5)

для стационарного режима:

t = f(x) ; ∂t/∂y = ∂t/∂z = 0; ∂t/∂i = 0                                                                              (9.6)

 

Изотермической поверхностью называется поверхность тела с одинаковыми температурой.

Рассмотрим две изотермические поверхности (Рис.9.1) с температурами t и t + ∆t.

Градиентом температуры называют предел отношения изменения температуры ∆t к расстоянию между изотермами по нормали, когда ∆n стремится к нулю:

gradt = lim[∆t/∆n]∆n→0 = ∂t/∂n                                                                                     (9.7)

 

\"\"

Температурный градиент-это вектор, направленной по нормали к изотермической поверхности в сторону возрастания температуры и численно равный производной температуры t по нормали n:

gradt = ∂t/∂n no ,                                                                                                       (9.7*)

где: noединичный вектор.

 

Количество теплоты, проходящее через изотермическую поверхность F в единицу времени называется тепловым потоком – Q, [Вт=Дж/с].

Тепловой поток, проходящий через единицу площади называют плотностью теплового потока – q = Q / F, [Вт/м2]

Для твердого тела уравнение теплопроводности подчиняется закону Фурье:

Тепловой поток, передаваемая теплопроводностью, пропорциональна градиенту температуры и площади сечения, перпендикулярного направлению теплового потока.

Q = -λ∙F∙ ∂t/∂n,                                                                                                         (9.8)

или

q = -λ ∙ ∂t/∂n ∙no = -λ∙gradt ,                                                                                     (9.9)

где: q – вектор плотности теплового потока;
λ – κоэффициент теплопроводности, [Вт/(м∙К)].

Численное значение вектора плотности теплового потока равна:

q = -λ∙ ∂t/∂n = -λ∙|gradt| , (9.10)

где: |gradt|- модуль вектора градиента температуры.

 

Коэффициент теплопроводности является физическим параметром вещества, характеризующим способность тела проводит теплоту, Она зависит от рода вещества, давления и температуры. Также на её величину влияет влажность вещества. Для большинства веществ коэффициент теплопроводности определяются опытным путем и для технических расчетов берут из справочной литературы.

 

Дифференциальное уравнение теплопроводности для трехмерного нестационарного температурного поля имеет следующий вид:

\"\"
,                                                                                   (9.11)

где: а = λ/(с·ρ) – коэффициент температуропроводности [м2/с], характеризует скорость изменения температуры.

Для стационарной задачи, дифференциальное уравнение имеет вид:

            \"\"
.                                                                                                  (9.12)

Читайте также:

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *